Por: Alfonso Rivera
De las tantas sucesiones matemáticas que existen, ninguna es
tan famosa, tan interesante y tan asombrosa como la que inventó Fibonacci. A lo
largo de los años, hombres de ciencia, artistas de todo tipo y arquitectos, la
han utilizado para trabajar, en ocasiones a propósito y otras de forma
inconsciente, pero siempre con resultados majestuosos. En el presente artículo
trataré de contarles la historia detrás
de todo éste asunto de la maravillosa sucesión de Fibonacci.
Son de estas cosas que no tienen explicación lógica y que el
ser humano se ha pasado siglos buscándole según su propio raciocinio y que
tiene que ver con símbolos y ecuaciones matemáticas que se repiten dentro de la
creación divina, también la creación artístico-musical entre mucho más, pero
gracias a un señor llamado Leonardo de Pisa las futuras generaciones hemos
podido conocer esta maravillosa sucesión.
La sorprendente sucesión de Fibonacci debe su nombre a
Leonardo de Pisa (1.170-1.240), más Conocido por Fibonacci (hijo de Bonaccio).
A pesar de ser un matemático brillante con una importante obra en su haber, es
conocido principalmente por una cuestión aparentemente trivial, una sucesión de
números enteros en la que cada término es igual a la suma de los dos
anteriores, Fibonacci ha pasado a la historia por su famosa sucesión.
El número de oro: El número áureo o de oro (también
llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea
y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en honor a
Leonardo de Pisa Fibonacci), es el número irracional:
Desde los tiempos más antiguos los números han cautivado al
ser humano, no solo por su aplicación inmediata a la vida cotidiana sino por la
riqueza teórica y simple que se encuentra dentro de ellos. Existe una gran
cantidad de números con propiedades especiales, entre ellos se pueden citar los
números primos, números perfectos, números amigos, sociables, etc. Como puede
verse la lista es bastante larga y lo más interesante es que cada clase de
éstas ha conducido a importantes e interesantes estudios teóricos.
Los números de Fibonacci son algunos de los que más frutos
han dado, pues cuentan con asiduos matemáticos y aficionados que se han
dedicado a la búsqueda de las relaciones más insospechadas de estos números y
que han encontrado resultados de estas características en la mano humana, en
los pétalos de una flor, las espirales de los girasoles, las espirales de las
piñas, la altura de la cadera, la altura de la rodilla, la altura de un ser
humano y la altura de su ombligo, la cría de los conejos, la Mona Lisa etc.
A lo largo de la historia, desde Pitágoras hasta los más
grandes compositores de la actualidad, la ciencia ha jugado un rol esencial en
el desarrollo de la música. Pitágoras, quien fue el descubridor de las
relaciones aritméticas de la escala musical, creía que la música era
inseparable de los números, los cuales eran considerados la clave de todo el
universo espiritual y físico. En el período clásico, Mozart utilizó conceptos
de probabilidad para componer obras arrojando dados. En la música
contemporánea, muchas obras de compositores tales como Bartók, Xenakis,
Stockhausen, Boulez, etc., están inspiradas en conceptos y teoremas
matemáticos, utilizándolas como metáforas para la creación musical. También ha
sido importante el conocimiento de la física del sonido para la exploración de
nuevas formas musicales y sonoras en especial, con Stockhausen y la aparición
de la música electroacústica.
La sucesión de Fibonacci es una serie de números que se
obtienen sumando los dos anteriores de la serie tomando 0 y 1 como los dos
primeros de la serie. Se obtiene entonces la siguiente serie de números 0, 1,
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… (Más claramente 0, 1, 1=0+1, 2=1+1, 3=1+2, 5=2+3,
8=3+5, 13=5+8,…). Se explicará cómo surgió esta sucesión a partir de un
problema de reproducción de conejos y cómo comenzó a observar la aparición de
la serie de Fibonacci como patrón en muchos elementos de la naturaleza, como
por ejemplo en la disposición de las hojas de las plantas, en caracoles, en las
espirales en flores de girasol o en piñas, en los huesos de las manos, etc.
En primer lugar, la serie de Fibonacci posee propiedades
matemáticas muy interesantes y numerosas formas de representarlo. El número
áureo aparece en la naturaleza, la pintura, la escultura, la arquitectura, la
música y el cine. En algunos casos es utilizado a conciencia como herramienta
de búsqueda de la belleza estética, pero lo sorprendente es que en muchas obras
de arte y arquitectura, estas proporciones aparecen aún sin haber sido buscadas
conscientemente, de hecho, por este motivo muchos le asocian a este número un
carácter místico, generando controversias entre artistas, religiosos,
matemáticos, etc.
El número áureo aparece en las proporciones geométricas de
las pinturas de Leonardo Da Vinci o en las dimensiones arquitectónicas del
Partenón, aparece también en la estructura de las escenas del clásico de cine
“El Acorazado Potemkin” y también fué utilizado para construir armonías y
escalas en las obras de Béla Bartók.
En la Música
Es necesario aclarar que cuando se menciona al número áureo
en una realización artística de cualquier naturaleza no se está haciendo
mención al número áureo de los matemáticos, un irracional con infinitos
decimales, sino a una aproximación racional adecuada a las circunstancias o a
un dibujo hecho con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y
un compás de abertura fija o variable. Generalmente se utilizan cocientes de
números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci que dan valores aproximados,
alternativamente por defecto o por exceso, según la necesidad o la sensibilidad
humana y hasta la capacidad de separación tonal de cada instrumento. Un violín,
por ejemplo, puede separar hasta un tercio de tono. El oído humano sano y
entrenado distingue hasta trescientos sonidos por octava. Como un ejemplo
conocido y no discutido tenemos a la escala atemperada o templada. Ésta es una
escala logarítmica. Se creó muy poco tiempo después de que los logaritmos
pasaran al patrimonio de la matemática. La octava atemperada está basada en éste
número irracional, tiene infinitos decimales, pero la afinación se hace
redondeando las cifras de las frecuencias a uno o dos decimales. De cualquier
manera, el error tonal total cometido no es superior al doceavo de tono y el
oído humano no lo nota. La uniformidad de la separación de las notas y la
coincidencia de bemoles y sostenidos permite comenzar una melodía por cualquier
nota sin que se produzcan las desagradables disonancias de la escala diatónica
y la escala física. De la misma manera se actúa con la distribución de tiempos
o la altura de los tonos usando el número áureo; con una aproximación racional
que resulte práctica. Existen numerosos estudios al respecto, principalmente de
la Universidad de Cambridge.
Bártok, Messiaen y Stockhausen, entre otros, compusieron
obras cuyas unidades formales se relacionan (a propósito) con la sección áurea.
El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizó también el
número áureo en su obra Alcancías, para organizar las partes (unidades
formales).
Como dato curioso el grupo de rock progresivo norteamericano
Tool, en su disco Lateralus (2001) hacen múltiples referencias al número áureo
y a la sucesión de Fibonacci, sobre todo en la canción que da nombre al disco,
pues los versos de la misma están cantados de forma que el número de sílabas
pronunciadas en cada uno van componiendo dicha secuencia. Además la voz entra
en el minuto 1:37, que pasado al sistema decimal coincide muy aproximadamente
con el número áureo.
Existen diferentes autores que han utilizado dicha sucesión
como patrón para determinar ciertos elementos de sus composiciones. Dichos
autores desarrollaron una escala musical basándose en la sucesión que denominó
escala Fibonacci. Así mismo, en su obra musical para instrumentos de cuerda,
percusión y celesta, un análisis de su fuga muestra la aparición de la serie y
de la razón áurea. Por otra parte, estudios realizados acerca de la Quinta
sinfonía de Beethoven (1770-1827) muestran como el tema principal incluido a lo
largo de la obra, está separado por un número de compases que pertenece a la
sucesión de Fibonacci. También en varias sonatas para piano de Mozart
(1756-1791) la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es la
más cercana posible a la razón áurea.
Relaciones matemáticas de este estilo se han encontrado
también en la coral situada al final de Kunst der Fuge de Johann Sebastián Bach
(1685-1750). En ella determinados motivos se repiten, por disminución a escalas
menores, una y otra vez con distintas variaciones dentro de una región mayor de
la pieza. Así, por ejemplo, varias voces repiten al doble de velocidad la
melodía de la voz principal. Este es un ejemplo de pieza musical auto
semejante, que, como veremos, es una característica de la geometría fractal, un
concepto matemático de finales del siglo XX. Existen trabajos que analizan la
manifestación de estas características fractales en otras obras, como en el
tercer movimiento de la sonata número 15 de Beethoven y el triángulo de
Sierpinski, o la analogía entre el conjunto de Cantor y la primera Ecossaisen
de Beethoven.
Lic en Música, Alfonso Rivera
Docente Universidad Experimental de las Artes (Unearte) Caracas/VenezuelaPianista profesional, arreglista, compositor,investigador, postgrado en gerencia cultural, articulista, multi-instrumentista.
Docente Universidad Experimental de las Artes (Unearte) Caracas/VenezuelaPianista profesional, arreglista, compositor,investigador, postgrado en gerencia cultural, articulista, multi-instrumentista.
