"El famoso número de oro o sucesión de Fibonacci"

Por: Alfonso Rivera

  

De las tantas sucesiones matemáticas que existen, ninguna es tan famosa, tan interesante y tan asombrosa como la que inventó Fibonacci. A lo largo de los años, hombres de ciencia, artistas de todo tipo y arquitectos, la han utilizado para trabajar, en ocasiones a propósito y otras de forma inconsciente, pero siempre con resultados majestuosos. En el presente artículo trataré de contarles la  historia detrás de todo éste asunto de la maravillosa sucesión de Fibonacci.

Son de estas cosas que no tienen explicación lógica y que el ser humano se ha pasado siglos buscándole según su propio raciocinio y que tiene que ver con símbolos y ecuaciones matemáticas que se repiten dentro de la creación divina, también la creación artístico-musical entre mucho más, pero gracias a un señor llamado Leonardo de Pisa las futuras generaciones hemos podido conocer esta maravillosa sucesión.

La sorprendente sucesión de Fibonacci debe su nombre a Leonardo de Pisa (1.170-1.240), más Conocido por Fibonacci (hijo de Bonaccio). A pesar de ser un matemático brillante con una importante obra en su haber, es conocido principalmente por una cuestión aparentemente trivial, una sucesión de números enteros en la que cada término es igual a la suma de los dos anteriores, Fibonacci ha pasado a la historia por su famosa sucesión.

El número de oro: El número áureo o de oro (también llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en honor a Leonardo de Pisa Fibonacci), es el número irracional:

Desde los tiempos más antiguos los números han cautivado al ser humano, no solo por su aplicación inmediata a la vida cotidiana sino por la riqueza teórica y simple que se encuentra dentro de ellos. Existe una gran cantidad de números con propiedades especiales, entre ellos se pueden citar los números primos, números perfectos, números amigos, sociables, etc. Como puede verse la lista es bastante larga y lo más interesante es que cada clase de éstas ha conducido a importantes e interesantes estudios teóricos.

Los números de Fibonacci son algunos de los que más frutos han dado, pues cuentan con asiduos matemáticos y aficionados que se han dedicado a la búsqueda de las relaciones más insospechadas de estos números y que han encontrado resultados de estas características en la mano humana, en los pétalos de una flor, las espirales de los girasoles, las espirales de las piñas, la altura de la cadera, la altura de la rodilla, la altura de un ser humano y la altura de su ombligo, la cría de los conejos, la Mona Lisa etc.

A lo largo de la historia, desde Pitágoras hasta los más grandes compositores de la actualidad, la ciencia ha jugado un rol esencial en el desarrollo de la música. Pitágoras, quien fue el descubridor de las relaciones aritméticas de la escala musical, creía que la música era inseparable de los números, los cuales eran considerados la clave de todo el universo espiritual y físico. En el período clásico, Mozart utilizó conceptos de probabilidad para componer obras arrojando dados. En la música contemporánea, muchas obras de compositores tales como Bartók, Xenakis, Stockhausen, Boulez, etc., están inspiradas en conceptos y teoremas matemáticos, utilizándolas como metáforas para la creación musical. También ha sido importante el conocimiento de la física del sonido para la exploración de nuevas formas musicales y sonoras en especial, con Stockhausen y la aparición de la música electroacústica.

La sucesión de Fibonacci es una serie de números que se obtienen sumando los dos anteriores de la serie tomando 0 y 1 como los dos primeros de la serie. Se obtiene entonces la siguiente serie de números 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… (Más claramente 0, 1, 1=0+1, 2=1+1, 3=1+2, 5=2+3, 8=3+5, 13=5+8,…). Se explicará cómo surgió esta sucesión a partir de un problema de reproducción de conejos y cómo comenzó a observar la aparición de la serie de Fibonacci como patrón en muchos elementos de la naturaleza, como por ejemplo en la disposición de las hojas de las plantas, en caracoles, en las espirales en flores de girasol o en piñas, en los huesos de las manos, etc.

 

En primer lugar, la serie de Fibonacci posee propiedades matemáticas muy interesantes y numerosas formas de representarlo. El número áureo aparece en la naturaleza, la pintura, la escultura, la arquitectura, la música y el cine. En algunos casos es utilizado a conciencia como herramienta de búsqueda de la belleza estética, pero lo sorprendente es que en muchas obras de arte y arquitectura, estas proporciones aparecen aún sin haber sido buscadas conscientemente, de hecho, por este motivo muchos le asocian a este número un carácter místico, generando controversias entre artistas, religiosos, matemáticos, etc.

El número áureo aparece en las proporciones geométricas de las pinturas de Leonardo Da Vinci o en las dimensiones arquitectónicas del Partenón, aparece también en la estructura de las escenas del clásico de cine “El Acorazado Potemkin” y también fué utilizado para construir armonías y escalas en las obras de Béla Bartók.

En la Música

Es necesario aclarar que cuando se menciona al número áureo en una realización artística de cualquier naturaleza no se está haciendo mención al número áureo de los matemáticos, un irracional con infinitos decimales, sino a una aproximación racional adecuada a las circunstancias o a un dibujo hecho con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y un compás de abertura fija o variable. Generalmente se utilizan cocientes de números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci que dan valores aproximados, alternativamente por defecto o por exceso, según la necesidad o la sensibilidad humana y hasta la capacidad de separación tonal de cada instrumento. Un violín, por ejemplo, puede separar hasta un tercio de tono. El oído humano sano y entrenado distingue hasta trescientos sonidos por octava. Como un ejemplo conocido y no discutido tenemos a la escala atemperada o templada. Ésta es una escala logarítmica. Se creó muy poco tiempo después de que los logaritmos pasaran al patrimonio de la matemática. La octava atemperada está basada en éste número irracional, tiene infinitos decimales, pero la afinación se hace redondeando las cifras de las frecuencias a uno o dos decimales. De cualquier manera, el error tonal total cometido no es superior al doceavo de tono y el oído humano no lo nota. La uniformidad de la separación de las notas y la coincidencia de bemoles y sostenidos permite comenzar una melodía por cualquier nota sin que se produzcan las desagradables disonancias de la escala diatónica y la escala física. De la misma manera se actúa con la distribución de tiempos o la altura de los tonos usando el número áureo; con una aproximación racional que resulte práctica. Existen numerosos estudios al respecto, principalmente de la Universidad de Cambridge.

Bártok, Messiaen y Stockhausen, entre otros, compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan (a propósito) con la sección áurea. El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías, para organizar las partes (unidades formales).

Como dato curioso el grupo de rock progresivo norteamericano Tool, en su disco Lateralus (2001) hacen múltiples referencias al número áureo y a la sucesión de Fibonacci, sobre todo en la canción que da nombre al disco, pues los versos de la misma están cantados de forma que el número de sílabas pronunciadas en cada uno van componiendo dicha secuencia. Además la voz entra en el minuto 1:37, que pasado al sistema decimal coincide muy aproximadamente con el número áureo.

Existen diferentes autores que han utilizado dicha sucesión como patrón para determinar ciertos elementos de sus composiciones. Dichos autores desarrollaron una escala musical basándose en la sucesión que denominó escala Fibonacci. Así mismo, en su obra musical para instrumentos de cuerda, percusión y celesta, un análisis de su fuga muestra la aparición de la serie y de la razón áurea. Por otra parte, estudios realizados acerca de la Quinta sinfonía de Beethoven (1770-1827) muestran como el tema principal incluido a lo largo de la obra, está separado por un número de compases que pertenece a la sucesión de Fibonacci. También en varias sonatas para piano de Mozart (1756-1791) la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es la más cercana posible a la razón áurea.

Relaciones matemáticas de este estilo se han encontrado también en la coral situada al final de Kunst der Fuge de Johann Sebastián Bach (1685-1750). En ella determinados motivos se repiten, por disminución a escalas menores, una y otra vez con distintas variaciones dentro de una región mayor de la pieza. Así, por ejemplo, varias voces repiten al doble de velocidad la melodía de la voz principal. Este es un ejemplo de pieza musical auto semejante, que, como veremos, es una característica de la geometría fractal, un concepto matemático de finales del siglo XX. Existen trabajos que analizan la manifestación de estas características fractales en otras obras, como en el tercer movimiento de la sonata número 15 de Beethoven y el triángulo de Sierpinski, o la analogía entre el conjunto de Cantor y la primera Ecossaisen de Beethoven.

Lic en Música, Alfonso Rivera
Docente Universidad Experimental de las Artes (Unearte) Caracas/VenezuelaPianista profesional, arreglista, compositor,investigador, postgrado en gerencia cultural, articulista, multi-instrumentista.